ما زلت أتذكر ليلة الفيلم عندما شاهدته لأول مرة حسن النية الصيد مع أمي. لعب مات ديمون دور بواب في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. أثناء تنظيف الممرات، مر أمام سبورة مكتوب عليها مسألة حسابية متقدمة. توقف وبدأ في حل المشكلة. لقد شاهدته، مندهشًا، وهو ينشئ هياكل تبدو غير مقروءة من النقاط والخطوط – حتى خرج أستاذ الرياضيات فجأة من قاعة المحاضرات وطارده بعيدًا.
تم إخبار الجمهور سابقًا أن هذه المشكلة كان من المفترض أن تكون صعبة للغاية، وتستغرق سنوات من تفكير الخبراء لحلها، ومع ذلك تم حلها بسرعة بواسطة بواب دامون الثاقب في لحظات فقط. في ذلك الوقت، كنت منبهرًا بفكرة أن الناس يمكن أن يمتلكوا موهبة مخفية لم يشك أحد في وجودها.
ومع تقدمي في السن وزيادة ذكائي في الرياضيات، تجاهلت الأمر برمته واعتبرته حكم هوليوود. حسن النية الصيد قد تحكي قصة رائعة، لكنها ليست واقعية جدًا. في الواقع، التحدي الرياضي لا يصمد تحت قدر كبير من التدقيق. مع حفل توزيع جوائز الأوسكار هذا الشهر، يفكر الكثير من الناس في الفائزين السابقين، بما في ذلك حسن النية الصيد. يجدر إلقاء نظرة فاحصة على السبورة في فيلم حصل في عام 1997 على تسعة ترشيحات وفاز بكل من السيناريو الأصلي والممثل في دور داعم.
حول دعم الصحافة العلمية
إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.
بناء على الأحداث الفعلية
الفيلم مستوحى من قصة حقيقية، وهي قصة أجدها شخصيًا أكثر إقناعًا بكثير من النسخة الخيالية الموجودة فيها حسن النية الصيد. تدور القصة الحقيقية حول جورج دانتزيج، الذي سيصبح يومًا ما معروفًا باسم “أبو البرمجة الخطية”.
لم يكن Dantzig دائمًا طالبًا متفوقًا. ادعى أنه عانى من الجبر في المدرسة الإعدادية. لكنه لم يكن شخصًا عاديًا عندما وقع الحدث الذي ألهم الفيلم. بحلول ذلك الوقت، كان طالب دراسات عليا في الرياضيات. في عام 1939، وصل متأخرًا لحضور محاضرة ألقاها أستاذ الإحصاء جيرزي نيمان في جامعة كاليفورنيا، بيركلي. كتب نيمان مسألتين على السبورة، وافترض دانتزيج أنهما واجبان منزليان.
وأشار دانتزيج إلى أن المهمة بدت أصعب من المعتاد، لكنه ظل يعمل على حل المشكلتين وقدم حلوله إلى نيمان. وكما اتضح فيما بعد، فقد تمكن من حل ما كانا آنذاك من أشهر المسائل التي لم يتم حلها في مجال الإحصاء.
وكان هذا العمل الفذ مثير للإعجاب للغاية. على النقيض من ذلك، من السهل جدًا حل المشكلة الرياضية المستخدمة في أفلام هوليوود بمجرد أن تتعلم بعض المصطلحات. في الواقع، سأرشدك خلال ذلك. وكما يعرض الفيلم، فإن التحدي هو كما يلي: رسم جميع الأشجار ذات الحجم غير القابل للاختزال بشكل متماثل ن = 10.
وقبل أن نذهب إلى أبعد من ذلك، أريد أن أشير إلى شيئين. أولاً، إن تقديم هذا التحدي هو في الواقع أصعب شيء فيه. من غير الواقعي أن نتوقع من شخص عادي – بغض النظر عن موهبته الرياضية – أن يكون على دراية باللغة التقنية المستخدمة لصياغة المشكلة. لكن هذا يقودني إلى الشيء الثاني الذي يجب ملاحظته: بمجرد ترجمة المصطلحات التقنية، تصبح المهمة الفعلية بسيطة. مع القليل من الصبر والتوجيه، يمكنك تخصيصه للأطفال.
حل حسن النية الصيد مشكلة
دعونا ندخل في المفردات. في الرياضيات، الشجرة هي نوع من الرسم البياني، أي مجموعة من النقاط المرتبطة ببعضها البعض. لا يمكن للأشجار، على وجه الخصوص، أن تحتوي على حلقات، لذلك لا يمكنك توصيل النقاط بطريقة تجعلها تتقارب في نقطة واحدة. يتم تحديد حجم الشجرة من حيث عدد النقاط أو العقد في الرسم البياني. في هذه الحالة، نعلم أنه من المفترض أن نرسم جميع الرسوم البيانية الشجرية الممكنة ذات 10 عقد.
يشير المصطلح “homeomorphic” بشكل أساسي إلى فكرة أن العقد في هذه الشبكة تتبع دائمًا تسلسلًا معينًا؛ الشكل الدقيق للشجرة ليس بنفس أهمية تسلسل الاتصالات. عندما أقوم برسم اتصال بين العقدتين A وB، يمكنني أن أجعل هذا الارتباط أطول أو أقصر أو يدور قليلاً، ولن يهم طالما أن البنية العامة للشبكة ظلت كما هي. الجزء المهم هو أن A يتصل بـ B.
للتفكير في ذلك بطريقة مختلفة، تخيل شجرة على شكل X بها خمس عقد وشجرة على شكل حرف K بها خمس عقد. تعتبر هذه الأشجار نفس شجرة لأن عدد العقد وتسلسل الاتصالات لم يتغير بين الشكلين.
وكلمة “غير قابلة للاختزال” في هذه الحالة تعني أن كل عقدة في الرسم البياني يجب أن تكون متصلة إما بخط واحد أو بثلاثة خطوط أو أكثر بحيث لا يتم توصيل أي عقدة بخطين فقط: إذا كانت العقدة متصلة بخطين فقط، فيمكن اختزالها إلى خط واحد فقط.
لذلك، بلغة واضحة، تتمثل المهمة في رسم جميع الأشجار ذات الخصائص المحددة التي تحتوي كل منها على 10 عقد. هناك عدة طرق لهذا. على سبيل المثال، يمكنك كتابة برنامج كمبيوتر يحل المهمة في جزء من الثانية. أو يمكنك البدء في رسم جميع الرسوم البيانية التي تستوفي هذه المعايير يدويًا. اتضح أنك قد تحتاج فقط إلى بضع دقائق من الخربشة إذا قررت اتباع المسار الأخير.
لإثبات ذلك، يمكنك أولاً رسم شجرة تتكون من عقدة مركزية واحدة تشع بتسعة اتصالات، مما يعطينا إجمالي 10 عقد. يفي هذا التصميم بالمعايير المطلوبة، فهو أحد أشجارنا ذات الحجم غير القابل للاختزال ن = 10. عمل جيد!
بعد ذلك، ارسم شجرة ذات ثمانية اتصالات – ستجد أن هذا التصميم يؤدي إلى طريق مسدود لأنك لن تتمكن من إضافة عقدة دون إعادة إنشاء الشجرة السابقة أو تقديم خط قابل للاختزال. انتقل إلى رسم شجرة تبدأ بعقدة تحتوي على سبع اتصالات. ستظل بحاجة إلى وضع عقدتين أخريين، لكن يمكنك تخيل إضافتهما إلى إحدى العقد السبع التي رسمتها للتو. في هذه المرحلة، يجب أن تكون قادرًا على مواصلة الخربشة عبر الاحتمالات.
إذا كنت تفضل نهجًا أكثر انتظامًا – على الرغم من أن الأمر قد يستغرق وقتًا أطول قليلاً، اعتمادًا على مدى ارتياحك لنظرية الرسم البياني – فإن أحد الحلول الذكية يتضمن النظر في الشروط الرياضية التي يجب أن تحققها الأشجار وتمثيلها بالمعادلات.
لهذا النهج، يمكننا تحديد نك كعدد العقد ن مع ك اتصالات. لأن الشجرة يجب أن تكون غير قابلة للاختزال، ليس هناك ظرف من الظروف حيث ن2 يمكن أن توجد، لذلك ن2 = 0. علاوة على ذلك، نعلم أن الشجرة يجب أن تحتوي على 10 عقد، وهذا يعني أنك لن تمتلكها أبدًا ن10 أو ن11، وما إلى ذلك. الحد الأقصى هو ن9.
يمكننا بعد ذلك تمثيل ما نعرفه بصيغة رياضية:
ن1 + ن3 + ن4 + ن5 + ن6 + ن7 + ن8 + ن9 = 10
لاحظ أننا تخطينا ن2 لأننا نعلم أن ذلك يساوي 0.
هناك قيد آخر يمكننا التعبير عنه. ستحتوي شجرتنا المكونة من 10 عقد في النهاية على 18 سطرًا أو وصلات فيما بينها إذا حسبنا بطريقة تجعل الرابط بين العقدة A والعقدة B يُحسب مرتين، إحداهما AB والأخرى BA. يمكننا استخدام ذلك لبناء معادلة حيث نمثل كل اتصال وعقدة على حدة. على سبيل المثال، إذا كانت العقدة مرتبطة بعقدة أخرى، فإنها تنشئ اتصالاً واحدًا: 1ن1. إذا كانت عقدة واحدة مرتبطة بثلاث عقد أخرى، فسيتم إنشاء ثلاث اتصالات، لذلك 3ن3، إلى آخره. وهذا يقودنا إلى المعادلة التالية:
ن1 + 3ن3 + 4ن4 + 5ن5 + 6ن6 + 7ن7 + 8ن8 + 9ن9 = 18
لقد قمت الآن بإنشاء معادلتين تحصران وتقيدان خيارات رسم الشجرة لدينا. ولكننا بحاجة إلى الجمع بينهما لتحديد المصطلحات الأكثر صلة بمهمتنا. يمكنك طرح المعادلة الأولى من الثانية لإنتاج:
2ن3 + 3ن4 + 4ن5 + 5ن6 + 6ن7 + 7ن8 + 8ن9 = 8
تعمل هذه المعادلة كمرجع لرسم أشجارك المختلفة. الفكرة هي أن نأخذ الحدود التي تساوي معًا 8 عند جمع أول عدد صحيح أو معامل لها. أنظر إلى 8ن9 على سبيل المثال. وهذا يخبرنا أننا بحاجة إلى واحد فقط ن9 لبناء شجرتنا، والتي تتوافق مع الرسم الذي تحتوي فيه العقدة الواحدة على تسعة اتصالات.
إذا حاولت الرسم ن8، ستصل إلى سيناريو الطريق المسدود، مع عدم وجود شجرة تلبي معاييرنا. إذا كنت تستخدم معادلتنا كمرجع، فلن تكلف نفسك عناء محاولة رسمها لأنك سترى أنك لا تستطيع الجمع بين 7ن8 مع حد آخر بحيث يكون الرقم الأول في كل منهما يساوي 8.
لكن العقدة ذات سبع اتصالات، ن7، يمكن أن تعمل إذا قمت بدمجها مع ن3مما يعني أنه يمكنك دمج شجرة بسبعة اتصالات (ممثلة بـ 6ن7 في المعادلة) وشجرة ذات ثلاث اتصالات (2ن3) لإيجاد حل آخر للمشكلة. ويمكنك الاستمرار في العملية من هناك!
توجد أمثلة أفضل
أستطيع أن أفهم لماذا حسن النية الصيدابتعد صانعو أفلام Dantzig عن عمل Dantzig الفعلي. لم يكن الحل الذي ابتكره قصيرًا، وربما تكون الأشجار أكثر جاذبية من الناحية البصرية للمصور السينمائي.
لكنني ما زلت أعتقد أن صانعي الأفلام اختاروا هذه المسألة الرياضية بشكل سيئ، حتى بالنسبة لفيلم في هوليوود. يحتوي تاريخ الرياضيات على العديد من القصص المذهلة، بما في ذلك قصص حقيقية لأشخاص عاديين يقومون بحل مشكلة مفتوحة، والتي يمكن أن تكون مادة رائعة للأفلام.
ففي مجال الهندسة، على سبيل المثال، العديد من الإنجازات المتعلقة بتبليط المستوى تحققت على أيدي أشخاص طموحين لم يدرسوا الرياضيات أو أي شيء من هذا القبيل. حدثت إحدى مفضلاتي الشخصية في عام 2022، عندما عثر فني الطباعة المتقاعد ديفيد سميث أخيرًا على “بلاطة أينشتاين” التي طال انتظارها، وهي عبارة عن مضلع يمكنه ملء المستوى بالكامل دون أي فجوات ودون أن يكرر النمط الناتج نفسه على الإطلاق.
ظهرت هذه المقالة في الأصل في سبيكتروم دير فيسنشافت وتم استنساخها بإذن. تمت ترجمته من النسخة الألمانية الأصلية بمساعدة الذكاء الاصطناعي ومراجعته من قبل محررينا.
التعليقات