كيفية التعرف على رقم أولي بدون جهاز كمبيوتر

هل 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727 عدد أولي؟ قبل أن تطلب من الإنترنت الإجابة، هل يمكنك التفكير في كيفية الإجابة على هذا السؤال؟ بدون جهاز كمبيوتر أو حتى آلة حاسبة رقمية؟

في القرن التاسع عشر، أمضى عالم الرياضيات الفرنسي إدوارد لوكاس سنوات في إثبات أن هذا العدد المكون من 39 رقمًا هو بالفعل عدد أولي. كيف فعل ذلك؟ قام لوكاس، الذي صمم بالمناسبة أيضًا لعبة برج هانوي الترفيهية، بتطوير طريقة لا تزال مفيدة حتى اليوم، بعد أكثر من قرن من الزمان.

لقد كان الناس مفتونين بالأعداد الأولية لآلاف السنين. هذه الأرقام قابلة للقسمة فقط على 1 وعلى نفسها، في حين يمكن التعبير عن كل عدد صحيح آخر بشكل فريد كمنتج لعدد من الأعداد الأولية؛ على سبيل المثال، 15 = 3 × 5. تشكل الأعداد الأولية بشكل أساسي الجدول الدوري للرياضيات. كما أنها تحمل العديد من الأسرار. وهي تظهر على خط الأعداد بانتظام معين، ولكن حدوثها يتميز بتقلبات لا يمكن قياسها بعد. وكان عدم القدرة على التنبؤ هذا مصدر ذعر للخبراء.

حول دعم الصحافة العلمية

إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.

ويبحث عشاق الرياضيات باستمرار عن أرقام أولية جديدة. الرقم القياسي الحالي (اعتبارًا من أكتوبر 2025) لأكبر عدد أولي هو 2^136,279,841 – 1، رقم مكون من 41,024,320 رقمًا. إن مجرد قراءة هذا الرقم بصوت عالٍ سيستغرق حوالي 240 يومًا.

الأعداد الأولية ذات البنية الخاصة

ربما لاحظ أي شخص لاحظ الأعداد الأولية التي حطمت الأرقام القياسية في السنوات الأخيرة أن لها في الغالب بنية مماثلة: 2^ص – 1 ( حيث ص هو عدد أولي). تسمى الأعداد الأولية لهذا النموذج بأعداد ميرسين الأولية. والرقم الذي كرّس له لوكاس ما يقرب من عقدين من حياته هو أيضًا عدد ميرسين الأولي، أي 2¹²⁷ – 1. ولكن هناك بعض الخداع في هذه الأعداد الأولية لميرسين: ليس كل 2^ص– 1 هو رقم أولي لكل قيمة أولية لـ ص. على سبيل المثال، 2¹¹ – 1 ينتج 2,047 ويمكن كتابته كحاصل ضرب 23 و89.

لذا، في منتصف القرن التاسع عشر، تساءل لوكاس عما إذا كان 2¹²⁷ – 1 كان أوليًا أم لا. لقد واجه تحديًا هائلاً. الرقم هائل، ويتكون من 39 رقمًا، وفي ذلك الوقت من الواضح أن لوكاس لم يكن لديه إمكانية الوصول إلى جهاز كمبيوتر. كان عليه أن يتأكد يدويًا من أن 2¹²⁷ – 1 ليس له قواسم (ما عدا 1 ونفسه).

إحدى الطرق لإنجاز هذا العمل الفذ هي مراجعة جميع الأعداد الأولية حتى 2¹²⁷ – 1 والتأكد من عدم القسمة على أي منها. لكن هذا يستغرق وقتًا طويلاً للغاية وغير ممكن ببساطة إذا كنت لا تعرف جميع الأعداد الأولية الأصغر.

اختبار لوكاس ليمر للعدد الأولي

لوكاس لم يستسلم. لقد طور طريقة جديدة تعتمد على النتائج التي توصل إليها زميله إيفاريست جالوا والتي تتطلب حسابات أقل بكثير.

قبل أن نتعمق في الرياضيات الجميلة – ولكن المجردة باعتراف الجميع – لغالوا ولوكاس، سأقدم نتيجة لوكاس، المعروفة الآن باسم اختبار لوكاس-ليهمر للأبدية.

للتحقق مما إذا كان 2^ص – 1 عدد أولي، قام لوكاس بتطوير الخوارزمية التالية:

1. أنشئ سلسلة من الأرقام حدها الأول هو ق₀ = 4 وفيها كل لاحقة ق_ن يتم حسابه على أنه ق²_{ن – 1} – 2. وبالتالي فإن التسلسل هو: 4، 14، 194، 37634، وهكذا.

2. ثم 2^ص – 1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان ص – الحد الثاني من المتتابعة (أي ق_{ص – 2}) يقبل القسمة على 2^ص – 1 بدون باقي. وهذا يعني أن كل عدد أولي من ميرسين لديه هذه الخاصية، وعلى العكس من ذلك، كل عدد أولي من ميرسين لديه هذه الخاصية ق_{ص – 2} يحدد ميرسين رئيس 2^ص – 1.

لذلك بدلاً من قسمة رقم ميرسين على جميع الأعداد الأولية الأقل من 2¹²⁷ – 1، يكفي إجراء الحسابات لتحديدها ق₁₂₅ ثم نقسم على 2¹²⁷ – 1. هذا أبسط بكثير، أليس كذلك؟

من الناحية العملية، هناك مشكلة واحدة صغيرة فقط، أو بالأحرى كبيرة جدًا. مصطلحات التسلسل ق_ن تنمو بسرعة كبيرة جدًا، في الواقع، بسرعة كبيرة لدرجة أنه ليس من العملي العمل معهم. لذلك يلجأ الخبراء إلى الحيلة: فهم يقسمون حدود التسلسل ق_ن بواسطة رقم ميرسين واستمر بالباقي إذا لم ينتج عن القسمة عدد صحيح. هذا لا يغير الجزء الثاني من الخوارزمية، لذلك يظل شرط أعداد ميرسين الأولية كما هو: يجب أن تكون قادرة على القسمة بالتساوي ق_{ص – 2}. هذه الخدعة تجعل ق_{ص – 2} أصغر بكثير، ولكن.

لفهم اختبار البدائية بشكل أفضل، يمكننا العمل من خلاله باستخدام مثال بسيط: رقم ميرسين 2⁵ – 1، وهو 31. باستخدام الخوارزمية التي طورها لوكاس، نحتاج إلى الحساب ق₃وهو 37,634. وتقسيم هذا الرقم على 31 يعطينا النتيجة الدقيقة 1214. وهذا يعني ذلك ق₃ يكون قابل للقسمة على 2⁵ – 1، وبالتالي فإن الأخير هو عدد أولي.

بعد سنوات من العمل المضني، طور لوكاس اختبار البدائية هذا وطبقه على 2¹²⁷ – 1. وبذلك كان قادرًا على إثبات أنه بالفعل عدد أولي. وحتى يومنا هذا، يظل أكبر عدد أولي يتم العثور عليه بدون مساعدة الكمبيوتر.

ومع ذلك، لم يثبت لوكاس بشكل قاطع أن طريقته حددت بشكل موثوق أعداد ميرسين الأولية. ولم يتم تحقيق ذلك إلا من قبل عالم الرياضيات ديريك هنري ليمر في عام 1930، ولهذا السبب تُعرف الطريقة باسم اختبار لوكاس-ليهمر للأولوية.

مجموعات الأرقام المحدودة

ولكن لماذا تعمل هذه الاستراتيجية على الإطلاق؟ في الواقع، الدليل تقني تمامًا، ولذلك سأوفر لك التفاصيل (متوفرة على ويكيبيديا). لكن يمكنني أن ألخص الفكرة وراء هذه الطريقة تقريبًا.

يعتمد اختبار لوكاس-ليهمر للأولوية على بحث جالوا، الذي بحث في التماثلات في أشياء رياضية مختلفة في بداية القرن التاسع عشر. على عكس أسلافه، لم يقتصر على الأشكال الهندسية، بل أخذ في الاعتبار أيضًا تماثلات المعادلات أو حقول الأعداد. يصف المصطلح الأخير مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تطبيق جميع العمليات الحسابية الأربع الأساسية (أي الجمع والطرح والضرب والقسمة) دون مغادرة المجموعة. بمعنى آخر، إذا قمت بإضافة رقمين من المجموعة أو قسمتهما، فسأحصل على رقم يمثل أيضًا جزءًا من المجموعة. من أمثلة مجموعات الأرقام الأعداد النسبية (التي تتضمن الأعداد الصحيحة والكسور) أو الأعداد الحقيقية.

ولكن اتضح أن هناك مجموعات أرقام أصغر تحتوي فقط على عدد محدود من الأعداد الصحيحة من 0 إلى ص – 1. للحفاظ على خصائص المجموعة، يجب متابعة الأرقام بشكل دوري؛ بعد ص – 1، 0 يتبع مرة أخرى: (0، 1، 2، 3، …، ص – 1، 0، 1، 2، …). قد تبدو مثل هذه الحقول المحدودة غريبة، ولكن في الواقع، نواجهها في حياتنا اليومية: في الساعة التناظرية، من الطبيعي تمامًا أن يكون 1 يتبع 12.

كما اتضح، فإن أنظمة الأعداد المحدودة هي حقل إذا وفقط إذا ص هو عدد أولي. واكتشف جالوا أن هذه الحقول ذات الأعداد المحدودة تمتلك خصائص متماثلة خاصة. استغل لوكاس هذا المبدأ في تطوير اختبار البدائية الخاص به: إذا كان 2¹²⁷ – 1 هو رقم أولي، ثم حقل الرقم المقابل 0، 1، 2،…، 2¹²⁷ – 2 يجب أن يمتلك خصائص متماثلة معينة . لإنشاء نظام الأعداد المحدودة هذا، يجب عليك تقسيم جميع القيم الأكبر من 2¹²⁷ – 1 في 2¹²⁷ – 1 وحساب الباقي. هذه هي الخطوة الأخيرة في خوارزمية لوكاس.

ظهرت هذه المقالة في الأصل في سبيكتروم دير فيسنشافت وتم استنساخها بإذن.