حقق علماء الرياضيات قفزة كبيرة للأمام في واحدة من المسائل المفضلة في هذا المجال على الإطلاق.
المنحنيات – الخطوط المتعرجة عبر الفضاء، مثل مسار المذنب أو اتجاه سوق الأوراق المالية – هي بعض من أبسط الأشياء في الرياضيات. ولكن على الرغم من أنها تمت دراستها منذ آلاف السنين، إلا أن علماء الرياضيات لا يزال لديهم بعض الأسئلة الأساسية حولها دون إجابة.
لقد سعى واضعو نظرية الأعداد بشكل خاص إلى الحصول على نقاط خاصة على منحنى له إحداثيات على س–ذ الشبكة التي هي إما أعداد صحيحة أو كسور. غالبًا ما تكون هذه النقاط النادرة مترابطة بطرق معقدة وذات معنى. يقول باري مازور، أستاذ جامعة جيرهارد جيد في جامعة هارفارد: “نحن علماء رياضيات، ونهتم بالبنية”. قد يكون هذا الهيكل مفيدًا في بعض الأحيان؛ على سبيل المثال، أدت النقاط المنطقية الموجودة على ما يسمى بالمنحنيات الإهليلجية إلى ظهور فرع كامل من التشفير.
حول دعم الصحافة العلمية
إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.
ولكن هناك مجموعة كبيرة من المنحنيات، تتألف من العديد من العائلات اللانهائية، ولكل منها هيكلها الخاص من النقاط العقلانية. لقد حلم أصحاب نظرية الأعداد بإيجاد قاعدة رياضية محددة تنطبق على كل منحنى. لكن مثل هذه الصيغة الأحادية الجانب ظلت بعيدة عنهم لفترة طويلة.
تغير ذلك قبل بضعة أسابيع. في ورقة بحثية نُشرت في الثاني من فبراير، وضع ثلاثة علماء رياضيات صينيين أول حد أعلى صارم على الإطلاق لعدد النقاط المنطقية التي يمكن أن يمتلكها أي منحنى. العواقب الرياضية لا حدود لها.
يقول هيكتور باستين، عالم الرياضيات في الجامعة البابوية الكاثوليكية في تشيلي، والذي لم يشارك في هذا العمل: “إنها حقًا نتيجة مذهلة، حيث تضع معيارًا جديدًا لما يمكن توقعه”.
محدود أم لانهائي؟
يتم تمثيل المنحنيات رياضيا بمعادلات بسيطة تسمى متعددات الحدود. إنها في الأساس مجموعة من المتغيرات مضروبة ومضافة معًا.
فكر في المعادلة س2 + ذ2 = 1. إذا س و ذ هما محورا المستوى الإحداثي، وهذه المعادلة تمثل دائرة. كل نقطة على الدائرة تقابل حلًا مختلفًا لهذه المعادلة. على سبيل المثال النقطة س = 1 و ذ = 0، مكتوب كزوج الإحداثيات (1، 0)، موجود على الدائرة: إذا وضعت هذه القيم لـ س و ذ في المعادلة، تحصل على 1 = 1، وهو حل صالح.
بعض الحلول ومنها (1، 0) و (3⁄5, 4⁄5)، “عقلانيون” بمعنى كليهما س و ذ هي إما أعداد صحيحة أو نسب الأعداد الصحيحة. حلول أخرى مثل (1⁄√2, 1⁄√2)، “غير عقلانية”. قم بتوصيل هذه القيم لـ س و ذ، وستحصل على حل صالح للمعادلة، حيث تقع الإحداثيات على الدائرة مباشرةً. لكن لا يمكنك أبدًا التعبير عنها من حيث الأعداد الصحيحة ونسبها.
كان علماء الرياضيات اليونانيون القدماء مهووسين بإيجاد نقاط عقلانية على طول المنحنيات. لقد تساءلوا عن عدد هذه النقاط الخاصة التي يحتوي عليها منحنى معين. إنها واحدة من أبسط الأسئلة في الرياضيات، لكنها حيرت علماء الرياضيات لآلاف السنين. يقول شينكسوان تشو، عالم الرياضيات في معهد تولوز للرياضيات، والذي شارك في تأليف النتيجة الجديدة: “تقع هذه المشكلات في قلب نظرية الأعداد”.
تحتوي الدائرة – وهي نوع معين من المنحنى – على عدد لا نهائي من النقاط العقلانية. وينطبق الشيء نفسه على أي منحنى آخر حيث لا يوجد أي منهما س ولا ذ مرفوعة إلى قوة أكبر من 2. معادلات “الدرجة 2” هذه إما ليس لها نقاط كسرية على الإطلاق أو كثيرة بشكل لا نهائي. عدد النقاط المنطقية على منحنى أعلى بدرجة واحدة، الدرجة 3، يكون أحيانًا لا نهائيًا وأحيانًا محدودًا.
لكن في عام 1922، قدم لويس مورديل تخمينًا مشهورًا أشار إلى أن الوضع يتغير بشكل حاد بالنسبة للمعادلات ذات الدرجة الأعلى. وذكر أنه عندما تكون درجة المنحنى 4 أو أكثر، سيكون هناك دائمًا عدد محدود من النقاط المنطقية.
وبعد واحد وستين عامًا، أثبت جيرد فالتينجز أن مورديل كان على حق؛ تمت مكافأته بميدالية فيلدز، وهو أعلى وسام في الرياضيات. لكن حدسية مورديل، التي تسمى الآن نظرية فالتينجز، لا تقول شيئًا عنها كم عدد نقاط هذه المنحنيات لها.
ومنذ ذلك الحين، سعى علماء الرياضيات إلى إيجاد صيغة للإجابة على هذا السؤال. “نحن نعرف ذلك هناك يكون يقول باستن: “إنها صيغة. إنها في مكان ما هناك، وهذا أمر جيد، ولكننا نريدها”.
قاعدة لكل منحنى
وهنا يأتي دور الدليل الجديد. يقدم مؤلفوه صيغة يمكن تطبيقها على أي منحنى في الكون الرياضي، مهما كانت درجته. إنه لا يوضح بدقة عدد النقاط المنطقية التي يحتوي عليها هذا المنحنى، ولكنه يعطي حدًا أعلى لما يمكن أن يكون عليه هذا الرقم.
الصيغ السابقة من هذا النوع إما لا تنطبق على جميع المنحنيات أو تعتمد على المعادلة المحددة المستخدمة لتعريفها. الصيغة الجديدة هي شيء كان علماء الرياضيات يأملون فيه منذ برهان فالتينجز، وهي عبارة “موحدة” تنطبق على جميع المنحنيات دون الاعتماد على المعاملات في معادلاتها. يقول مازور: “يمنحنا هذا البيان نطاقًا واسعًا من الفهم”.
يعتمد الأمر على شيئين فقط. الأول هو درجة كثيرة الحدود التي تحدد المنحنى، فكلما ارتفعت الدرجة، أصبحت العبارة أضعف. والشيء الثاني الذي تعتمد عليه الصيغة يسمى “الصنف اليعقوبي”، وهو سطح خاص يمكن بناؤه من أي منحنى. تعد الأصناف اليعقوبية مثيرة للاهتمام في حد ذاتها، وتوفر الصيغة مسارًا محيرًا لدراستها أيضًا.
النتيجة الجديدة هي خطوة أولى نحو معرفة عدد النقاط التي تحتوي عليها المنحنيات، وليس فقط ما إذا كانت تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط أم لا. يقول باستين: “هناك المزيد من الأسئلة في الأفق”. “يمكننا أن نصبح أكثر طموحًا الآن.”
المنحنيات هي أيضًا مجرد موطئ قدم أولي في العالم الرياضي للأشكال المنحوتة بواسطة المعادلات. المعادلات كثيرة الحدود مع متغيرات إضافية إلى جانب ذلك س و ذ يمكن أن تولد كائنات أكثر تعقيدًا، مثل الأسطح أو نظائرها ذات الأبعاد الأعلى، والتي تسمى “المشعبات”. تعتبر المتشعبات أساسية في الرياضيات الحديثة، وكذلك الفيزياء النظرية، حيث يتم استخدامها لرسم خريطة للمكان والزمان.
كل هذه الأسئلة حول النقاط العقلانية مهمة بالنسبة لتلك الأشياء ذات الأبعاد الأعلى أيضًا. على سبيل المثال، وضع باستن وعالم الرياضيات جيرسون كارو حدًا أعلى لعدد النقاط المنطقية لأسطح معينة في ورقة بحثية عام 2023. النتيجة الجديدة تعطي باستن الأمل في تحقيق مزيد من التقدم في هذا المسعى الأوسع.
هذه النتيجة هي واحدة من عدة نتائج جديدة حديثة حول النقاط العقلانية على المنحنيات. في المحصلة، قد تشير زيادة القوات إلى فصل جديد في هذه الملحمة التي يعود تاريخها إلى آلاف السنين.
يقول مازور: “هذه منطقة مثيرة وسريعة الحركة”. “هناك شيء كبير يحدث الآن.”
التعليقات