يجد علماء الرياضيات صيغة باي واحدة لتحكمهم جميعًا

لأكثر من ألفي عام، أنتج علماء الرياضيات كومة متزايدة من معادلات باي في بحثهم المستمر عن طرق لحساب باي بشكل أسرع وأسرع. لقد زادت الآن كومة المعادلات إلى الآلاف، ويمكن للخوارزميات الآن توليد ما لا نهاية. لقد وصل كل اكتشاف بمفرده، كقطعة، دون أي صلة واضحة بالاكتشافات الأخرى. ولكن الآن، ولأول مرة، ثبت أن قرونًا من صيغ باي هي جزء من بنية موحدة كانت مخفية سابقًا.

اقسم محيط أي دائرة على قطرها وستحصل على pi. ولكن ما هي أرقامها بالضبط؟ لن يخبرك قياس الدوائر المادية – فأدواتك ثقيلة جدًا بحيث لا يمكنك اكتشاف أرقام pi التي لا نهاية لها. إن الكشف عن قيمتها الحقيقية يتطلب شيئًا أقوى بكثير: صيغة.

بدأ كل شيء مع أرخميدس، الذي طور أول دليل رياضي معروف في العالم لقيمة باي. كان يعتقد أن الدائرة عبارة عن مضلع لا نهائي الجوانب طول أضلاعه صفر. لن تظهر الرياضيات اللازمة للتعامل مع المتناهية الصغر (حساب التفاضل والتكامل) قبل 1900 عام أخرى، لذا بدلًا من ذلك، قام بتحديد مضلعات ذات 96 ضلعًا في خارج وداخل الدائرة واستخدم الهندسة لحساب محيطها. لقد كان قادرًا على تحديد أن قيمة باي تقع في مكان ما بين 3.140845… و3.142857…، مما أدى إلى احتجازها في نطاق ما. صمد صرامة لمدة 1600 سنة.

حول دعم الصحافة العلمية

إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.

ثم، في حوالي القرن الرابع عشر، قدم عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانجاماجراما أول صيغة دقيقة، معبرًا عنها بسلسلة لا نهائية – مجموع عدد لا نهاية له من المصطلحات التي، إذا تمكنت من جمعها جميعًا بطريقة أو بأخرى، ستنتج باي بالضبط. المشكلة: تقاربت سلسلته ببطء شديد، وتتطلب مئات من الحدود فقط لتحديد بضعة منازل عشرية. وبعد أكثر من ثلاثمائة عام، اكتشف ليونارد أويلر متسلسلة أخرى تتقارب بشكل أسرع. وفي أوائل القرن العشرين، أنتج عالم الرياضيات سرينيفاسا رامانوجان صيغًا لا تزال تحظى بالاحترام بسبب كفاءتها حتى اليوم.

بدت كل معادلة غير مرتبطة بالمعادلات الأخرى. ولكن في أواخر عام 2025، اكتشف فريق من سبعة باحثين في مجال الذكاء الاصطناعي في معهد التخنيون الإسرائيلي للتكنولوجيا بنية رياضية غير معروفة سابقًا تقوم عليها مئات من صيغ باي، بما في ذلك صيغ أرخميدس، ويولر، ورامانوجان. يقول دكتوراه: “ليس من المعتاد أن تستشهد بأرخميدس كل يوم”. الطالب مايكل شاليط، أحد أعضاء الفريق. تعمل البنية، التي تسمى حقل المصفوفة المحافظ، أو CMF، كنوع من السلف الرياضي المشترك، مما يوضح كيف أن الصيغ التي لا تبدو متشابهة على الإطلاق تتحول إلى تعبيرات مختلفة لنفس الكائن الأساسي.

نشأ المشروع من آلة رامانوجان 2019 التي ابتكرها رئيس المجموعة إيدو كامينر، وهي عبارة عن روبوت يعمل بالذكاء الاصطناعي يبحث عن تخمينات جديدة لحساب الثوابت الرياضية. يمكن لأي شخص تنزيل البرنامج مجانًا، وقد استخدمه الكثيرون للعثور على صيغ pi جديدة للانضمام إلى الكومة. لقد حقق النهج غير التقليدي للروبوت نجاحًا كبيرًا، إذا لم يؤخذ على محمل الجد من قبل علماء الرياضيات. يقول كامينر: “عندما بدأنا إجراء أبحاث الذكاء الاصطناعي في هذا المجال من الرياضيات، كان يُنظر إليها على أنها فكرة هامشية”.

ولكن مع استمرار الآلة وعلماء الرياضيات الآخرين في إنتاج الصيغ، أصبح السؤال في النهاية لا مفر منه: هل كان أي منهم متصلاً؟

المجموعة، التي لديها أيضًا خلفيات في مجالات مثل الفيزياء والرياضيات، تعاملت مع المشكلة مثل التجريبيين وقررت جمع مجموعة بيانات. تومر راز، الذي كان آنذاك طالب ماجستير في التخنيون، كتب كودًا لتنزيل كل ورقة رياضيات تم تحميلها على خادم ما قبل الطباعة arXiv.org، وقام بتشغيل جهاز الكمبيوتر المحمول الخاص به سبعة أيام في الأسبوع، 24 ساعة في اليوم، لمدة ستة أسابيع لتنزيل 455.050 ورقة بمعدل بطيء بما يكفي لاحترام الحد الأقصى للموقع.

ثم قامت المجموعة بنشر GPT-4o بالاشتراك مع خوارزميات متخصصة للكشف عن المعادلات المتعلقة بـ pi، وترجمتها إلى كود قابل للتنفيذ، وإزالة التكرارات التافهة. ومن ما يقرب من نصف مليون ورقة بحثية، استخرجوا 385 صيغة فريدة، بما في ذلك حوالي 10% منها نشأت من آلة رامانوجان.

وفي الخطوة التالية، قاموا بإعادة صياغة المعادلات الـ 385 بنفس التنسيق، وهو نوع خاص من السلاسل اللانهائية. لكن التعبيرات لا تزال جميعها متقاربة مع باي، مما لا يترك طريقة واضحة لمقارنتها. كانت هناك حاجة إلى شيء أعمق.

كان هذا الشيء هو CMF، الذي قدمه بعض أعضاء مجموعة كامينر في عام 2023. ويطلق عليه شاليط سكين الجيش السويسري للرياضيات. يقول: “يمكنه توحيد صيغ عمرها 2000 عام (و) إعطاء تسلسل هرمي للثوابت في الرياضيات، ونأمل (استخدامها) لإثبات بعض خصائص اللاعقلانية المتعلقة بفرضية ريمان”.

فكر في CMF مثل الجاذبية المحددة على الشبكة. تتبع كل صيغة pi مسارًا مختلفًا عبر الشبكة. مثلما يضمن مجال الجاذبية أن يكون فرق الطاقة بين نقطتين هو نفسه، بغض النظر عن المسار، فإن CMF يضمن أن الوجهة فقط هي التي تهم. من هذا القيد الفردي، يبرز شيء رائع: عندما تتبع صيغتان pi مسارات متوازية عبر نفس شبكة CMF، فإنهما متساويتان (يمكن تحويل أحدهما إلى الآخر)، مهما بدت غير متطابقة على السطح.

قامت المجموعة باشتقاق CMF لـ pi، ثم استخدمت الخوارزميات لمعرفة مكان احتواء كل صيغة داخل الشبكة، وإيجاد مجموعات من المعادلات المتشابهة. أثبتت الخوارزمية رسميًا ما إذا كانت مجموعة المعادلات تنتمي إلى CMF. النتيجة: 43% من جميع صيغ باي المعروفة تنحدر من CMF واحد. وينتمي 51% آخرون إلى مجموعات أوسع. (لا يزال الباحثون يعملون على تحديد علاقاتهم الدقيقة). ويظل 6% فقط من الصيغ يتيمة، دون أي صلة مثبتة بأي شيء آخر.

يقول كامينر إنه سؤال مفتوح ما إذا كان بإمكان CMF الأكثر تعقيدًا التقاط المجموعة بأكملها. سؤال آخر مفتوح هو ما إذا كانت كل معادلة يتم إنشاؤها من CMF هي صيغة باي، فحتى الآن، كل المعادلات التي جربها الفريق نجحت.

يقول ديفيد بيلي، عالم الكمبيوتر المتقاعد الذي عمل سابقًا في مختبر لورانس بيركلي الوطني، والذي لم يشارك في الدراسة (على الرغم من أن صيغة باي تحمل اسمه واستخدمت المجموعة إحدى خوارزمياته)، إن نتائج المشروع تبدو كما لو كان الكيميائيون في القرن السابع عشر قد اكتشفوا العناصر الذرية واحدًا تلو الآخر “ثم فجأة، أطلق شخص ما برنامج كمبيوتر قام ببناء الجدول الدوري بأكمله تلقائيًا”.

كان عالم الرياضيات جورج أندروز، الأستاذ الفخري في جامعة ولاية بنسلفانيا (الذي اكتشف مجموعة مفقودة من ملاحظات رامانوجان) قد انتقد سابقًا المجموعة لتسمية أجهزتهم باسم رامانوجان. لكن لم يكن لديه سوى الثناء على العمل الحالي. ويقول: “هذه رياضيات جادة تتم بطريقة جادة”. “يجب أن تظهر المزيد والمزيد من الأشياء المدهشة.”