قد يبدو العالم منظمًا، لكن العشوائية والفوضى تشكل كل شيء في الكون، بدءًا من المجرات الهائلة وصولاً إلى الجسيمات دون الذرية. قم بتغطية غطاء النافذة البارد بالثلج: فحتى ندفة ثلج واحدة ذات شكل غريب يمكن أن يكون لها تأثير على النمط الفاتر النهائي.
إن فهم الكيفية التي يمكن بها للتقلبات العشوائية أن تؤدي إلى تأثيرات عالمية هو ما شرع عالم الرياضيات الفرنسي فنسنت فارغاس من جامعة جنيف في سويسرا في القيام به منذ أكثر من 10 سنوات. ظهرت أفكاره الأولى للهندسة البسيطة في بحث عمره عقد من الزمان، ولكن لم يكن الأمر كذلك حتى عام 2023، بينما كان يعمل مع كريستوف جاربان من جامعة ليون في فرنسا، حيث تبلور المفهوم أخيرًا فيما يعرف الآن باسم حدسية جاربان-فارجاس. لقد أثبت علماء الرياضيات الآن هذا التخمين باستخدام تقنية ثاقبة من شأنها أن تفتح الباب لفهم أنظمة أكثر تعقيدًا.
يتضمن هذا التخمين سلوك أحد أشكال العشوائية الموجود في نطاق واسع من المجالات، بدءًا من الفوضى الكمومية وحتى الحركة البراونية وحتى الاضطرابات الجوية. يستخدم علماء الرياضيات “شريط قياس” رياضي يسمى الفوضى المضاعفة Gaussian، أو GMC، لانتقاء أنماط دقيقة مخبأة داخل بحر من العشوائية لا يمكن اختراقه. وقد تم استخدام GMC للعثور على أنماط في الأعداد الأولية. يعد هذا الموضوع من أهم الأفكار الأساسية في نظرية الاحتمالات اليوم.
حول دعم الصحافة العلمية
إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.
يرجع الفضل إلى عالم الرياضيات الفرنسي جان بيير كاهانا في تطوير سيارة GMC لأول مرة في عام 1985، على الرغم من أن عمله الرائد سرعان ما تم نسيانه. يقول فارغاس: “لقد كنت أحد الأشخاص الذين أعادوا إحياء أعماله”. “التقيت به عدة مرات، وقال إنه مندهش من مدى أهمية الموضوع. في كل مكان على هذا الكوكب، يعمل الناس على شيء يتعلق بالفوضى الغوسية.”
واجه فارغاس هذا الإجراء لأول مرة أثناء دراسته للاضطرابات والتمويل. ثم صادفها مرة أخرى في مشروع حول نظرية المجال المطابق، والتي تُستخدم لدراسة الأنماط التي تظل ثابتة أثناء التكبير أو التصغير. وقد ركز مؤخرًا على التحقيق في طبيعته الرياضية الأساسية.
لفهم GMC، تخيل سائلًا مضطربًا مليئًا بالدوامات الدوامية بمقاييس مختلفة. تنقسم الدوامات الهائلة بشكل عشوائي إلى دوامات أصغر، والتي تنقسم بدورها إلى دوامات أصغر، في تسلسل هرمي متداخل وواسع من العشوائية. يعمل GMC كنموذج رياضي يقيس هذا النوع من العشوائية متعددة المقاييس، فهو يلتقط التقلبات العشوائية التي تستمر عبر كل نطاق من مستويات المراقبة. ولهذا السبب، غالبًا ما يشار إليه على أنه مقياس فركتالي.
لقد كشف علماء الرياضيات عن سلوكيات مدهشة في أنواع العشوائية التي تحكمها GMC. على سبيل المثال، يمكن للأحداث على أصغر المقاييس أن تحكم النظام بأكمله؛ المحلاق القوي للبنية الكسورية يشكل الفوضى على كل المستويات. ونتيجة لذلك، لا يمكن فهم هذه الأنظمة من خلال النظر إلى المتوسطات. وبدلاً من ذلك، تنتج قواعد GMC صورة عالمية تنطبق على كل نطاق.
لكن هذه الصورة الرائعة لا تصمد إلا عند عتبة حرجة. إذا أصبحت العشوائية الأساسية أيضاً وبقوة، ينهار مقياس GMC. أو، بلغة الدوامات، بمجرد أن تملأ العشوائية ما يكفي من الدوامات، فإنها تصبح غير مستقرة، وتفقد كل نظامها الخفي. مثل تحول الجليد إلى سائل، يمثل هذا الانهيار مرحلة انتقالية مهمة للفوضى.
في عام 2023، قدم جاربان وفارجاس عدسة جديدة لدراسة فوضى جي إم سي. لقد جاء من مجال الرياضيات يسمى التحليل التوافقي. فبدلاً من النظر إلى الدوامات مباشرةً، قاموا بفحص ترددات الأنماط المخفية في الدوامات، تمامًا مثل تحليل صوت معقد عن طريق تقسيمه إلى نغمات نقية.
ثم جاءتهم فكرة. إذا تمكنوا من التوفيق بين وصفين فيزيائيين مختلفين تمامًا – التعقيد والتوافقيات – فقد يتعلمون شيئًا جديدًا. يشير علماء الرياضيات إلى فكرة مطابقة الأوصاف الفيزيائية غير ذات الصلة على أنها مطابقة “الأبعاد”.
على سبيل المثال، فكر في تساقط رقاقات الثلج على الأرض. عندما يهبط الثلج بلطف، قد يكون هناك بعدان محتملان هما عدد الأنماط التي تظهر في توزيع ندفات الثلج وعدد الأكوام المتكتلة التي تتشكل عبر مقاييس مختلفة. ولكن هل هناك صيغة يمكن أن تربط بين بعدي الأنماط (التوافقيات) والتكتل (الارتباطات)؟
يقول فارغاس: “الكلمة الأساسية هي البعد”. “هذا هو اسم اللعبة. لديك الكثير من الأبعاد الطبيعية، ولكن متى تتطابق؟”
وبعد دراسة الأنظمة التي يحكمها جي إم سي على شكل دائرة، توصل الثنائي إلى معادلة أنيقة للغاية تطابق البعد الارتباطي لنظام جي إم سي مع بعدها التوافقي.
ولسوء الحظ، لم يتمكنوا من إثبات صيغتهم، حتى بالنسبة للهندسة البسيطة. في عام 2023، نشروا تخمينهم على خادم ما قبل الطباعة arXiv.org، وأصبح فيما بعد مشكلة كبيرة مفتوحة.
في عام 2024، حل علماء الرياضيات تشاوفنغ لين ويانكي تشيو من معهد هانغتشو للدراسات المتقدمة بجامعة الأكاديمية الصينية للعلوم، ومينغجي تان من جامعة ووهان، هذا التخمين. إن بحثهم، الذي تم نشره كطبعة أولية على موقع arXiv.org ولم تتم مراجعته بعد، لم يؤكد الصيغة فحسب، بل كشف أيضًا لماذا إنها تعمل.
ومن الناحية الرياضية، فقد شبهوا جي إم سي بـ “لعبة الرهان العادل”، حيث تظل المكاسب المتوقعة ثابتة بغض النظر عن حجم اللعبة. عند تطبيقه على التقلبات الكسورية، فهذا يعني أن النظام يظل متوازنًا أثناء التكبير والتصغير، وكل مقياس أصغر يساهم بالعشوائية بطريقة تحافظ على الطاقة.
يطلق علماء الرياضيات على العملية التي تظهر هذا النوع من السلوك العادل، على نطاق واسع، اسم مارتينجال. على عكس ألعاب الرهان العادية، فإن “ألعاب” الفوضى أكثر تعقيدًا بكثير، وتتطلب مارتينجال ذات أبعاد أعلى.
يقول تشيو: “سمعت عن هذا التخمين خلال ورشة عمل حول الرياضيات عبر الإنترنت”. “لقد ركزت على مارتينجال في أطروحتي للدكتوراه قبل بضع سنوات، وكان لدي حدس أنها ستكون الأداة المناسبة هنا.”
استخدمت المجموعة هيكل مارتينجال عالي الأبعاد لتتبع تراكم العشوائية بعناية على كل مقياس. ومن المؤكد أنه من خلال الحفاظ على الطاقة، اجتمعت العديد من “الألعاب العادلة” الصغيرة لتعطي نفس الصيغة للانحلال التي توقعها جاربان وفارجاس.
ولم يحسم برهان تشيو وزملاؤه التخمين فحسب، بل مهد الطريق أيضًا لمزيد من البراهين على نماذج كسورية أكثر تعقيدًا. ومع ذلك، فإن الطريق إلى نظرية كاملة ليس خاليًا تمامًا من العوائق. وحتى الطريقة الجديدة تفشل عندما تجبر العشوائية النظام على الوصول إلى نقطة انتقال الطور الحرجة. يقول علماء الرياضيات إن هذه المرحلة الانتقالية في حد ذاتها هي موضوع غني ومثير للاهتمام وله مجموعة خاصة به من الأسئلة العميقة. ولكن يقول تشيو: “للمضي قدمًا، نحتاج إلى أفكار جديدة”.
التعليقات