اكتشف علماء الرياضيات طرقًا جديدة لصنع أشكال مستديرة

تخيل أنك تريد معرفة الطريقة الأكثر فعالية لصنع طارة – جسم رياضي على شكل كعكة دونات – من ورق الأوريجامي. لكن هذا الطارة، وهو عبارة عن سطح، يبدو مختلفًا تمامًا عن الجزء الخارجي من كعكة الدونات المخبوزة المزججة. بدلاً من أن تبدو سلسة تمامًا تقريبًا، فإن الطارة التي تتخيلها خشنة ولها العديد من الوجوه، كل منها عبارة عن مضلع. بمعنى آخر، أنت تريد إنشاء طارة متعددة السطوح ذات وجوه على شكل مثلثات أو مستطيلات.

سيكون شكلك ذو المظهر الغريب أكثر صعوبة في البناء من الشكل ذو السطح الأملس. يزداد تعقيد المشكلة فقط إذا قررت أنك تريد تصور بناء شيء مماثل ولكن بأربعة أبعاد أو أكثر.

تناول عالم الرياضيات ريتشارد إيفان شوارتز من جامعة براون هذه المشكلة في دراسة حديثة من خلال العمل بشكل عكسي من طارة متعددة السطوح موجودة للإجابة على الأسئلة حول ما هو مطلوب لبنائها من الصفر. وقد نشر النتائج التي توصل إليها على خادم ما قبل الطباعة في أغسطس 2025.

حول دعم الصحافة العلمية

إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.

تمكن شوارتز من إيجاد حل لسؤال طويل الأمد: ما هو الحد الأدنى لعدد الرؤوس (الزوايا) اللازمة لإنشاء توري متعدد السطوح مع خاصية تسمى التسطيح الجوهري؟ الجواب، كما وجد شوارتز، هو ثمانية رؤوس. لقد أثبت لأول مرة أن القمم السبعة ليست كافية. ثم اكتشف مثالاً على طارة متعددة السطوح مسطحة جوهريًا بثمانية رؤوس.

يقول جان مارك شلينكر، عالم الرياضيات في جامعة لوكسمبورج: «من الملفت للنظر للغاية أن ريتش شوارتز كان قادرًا على حل هذه المشكلة المعروفة تمامًا». “تبدو المشكلة بدائية ولكنها ظلت مفتوحة لسنوات عديدة.”

توفر نتائج شوارتز بشكل أساسي الحد الأدنى من القمم التي تحتاجها الحيدة متعددة السطوح حتى يمكن تسطيحها. لكن هناك تفصيل واحد – ما يعنيه أن تكون “مسطحًا جوهريًا” بدلاً من مجرد “مسطح” – يصعب تحليله بعض الشيء. تعتبر هذه الفكرة أيضًا أساسية لربط نتائج شوارتز بمسألة بناء توري متعدد السطوح من الصفر.

منذ ستينيات القرن الماضي، عرف علماء الرياضيات وجود نسخ مسطحة جوهريًا من الكائنات الرياضية. ويشير شوارتز إلى أن العثور على هذه الأشياء في الواقع هو وحش مختلف. إن وصف الحوافر متعددة السطوح بأنها مسطحة في جوهرها لا يعادل مجرد القول بأنها مسطحة مثل قطعة من الورق. وبدلا من ذلك، فهذا يعني أن هذه الأسطح لها نفس الأبعاد (أو، كما يقول علماء الرياضيات، “متساوية القياس بالنسبة”) توري المسطحة. يقول شوارتز: “هناك طريقة أخرى لقول ذلك، وهي أنه إذا قمت بحساب مجموع الزوايا حول كل قمة، فإنها تضيف ما يصل إلى 2π في كل مكان”.

وفقًا لشلينكر، فإن النتائج التي توصل إليها شوارتز تتناسب تمامًا مع خبرته. ومع ذلك، ظل شوارتز في حيرة من أمره لسنوات عديدة بسبب هذه المشكلة، مما دفعه إلى وضعها جانبًا.

سمع لأول مرة عن هذا المأزق في عام 2019، عندما أحضره إليه اثنان من أصدقائه الرياضيين – ألبا مالقة سابوغال وصامويل ليليفر. يقول شوارتز: “لقد اعتقدوا أنني سأكون مهتمًا بهذا لأنني قمت بحل هذا الشيء الذي يسمى مشكلة طومسون، والتي كانت تتعلق بالإلكترونات الموجودة في الكرة”. “لقد اعتقدوا (مشكلة طومسون) هي البحث من خلال مساحة التكوين ومحاولة معرفة التكوين الأفضل من بين عدد لا حصر له من الاحتمالات، وهذه الأوريغامي توري لها نوع مماثل من النكهة.”

لكن شوارتز لم يكن مقتنعا في البداية. يقول: “في الأساس، لقد دفعوها في وجهي، وفي مرحلة ما، مرت سنوات. في الواقع، اعتقدت أنها مشكلة صعبة للغاية”. تنبع الصعوبة من الأبعاد الكبيرة التي يبدو أنها متورطة. ويقول: “حتى بالنسبة لسبعة أو ثمانية (قمم) فقط، يبدو أنه سيتعين عليك النظر إلى مساحة ذات 20 بعدًا فرديًا”.

ولكن عندما اجتمع علماء الرياضيات الثلاثة مرة أخرى في عام 2025، علم شوارتز أن زميل ليليفر في السكن، فنسنت توغاي، وجد مثالاً يعمل مع تسعة رؤوس. “لقد كان شيئًا جميلًا حقًا” هذا ما قاله توغاي، وهو مدرس في مدرسة ثانوية وحاصل على درجة الدكتوراه. يقول شوارتز: “في الفيزياء، عُرضت في معارض التوعية بالرياضيات في باريس”. يضيف شوارتز، الذي شرع بعد ذلك في تحديد ما إذا كان حدسه صحيحًا: “لقد فكرت، حسنًا، يجب أن يكون هذا هو الأفضل”.

للتعامل مع مسألة ما إذا كانت الحالات ذات الرؤوس السبعة أو الثمانية ستعمل، ركز شوارتز على الإجابة على “كيف يمكنني تقليل البعد؟” لقد ولد الكثير من الأفكار حول كيفية القيام بذلك في حالة الرؤوس السبعة. ومع ذلك، فقد عثر في النهاية على موهبة رياضية من نوع ما: ورقة بحثية غير معروفة على نطاق واسع عام 1991 “تقطع حوالي 80% من الطريق لإثبات أنك لا تستطيع فعل ذلك باستخدام سبعة رؤوس”، كما يقول. “ثم انتهيت للتو من ذلك.”

لا يزال يعتقد أن قضية الرؤوس الثمانية لن تنجح أيضًا، ثم حاول استخدام نهج مماثل لإثبات هذا الادعاء. عندما وجد أنه لا يستطيع استبعاد بعض الحالات، قرر معرفة الخصائص التي يجب أن تكون عليها الحيدة ذات الرؤوس الثمانية لتكون مسطحة في جوهرها. وباستخدام نهج وصفه بأنه “التعلم الآلي الخاضع للإشراف الشديد”، وجد شوارتز بعد ذلك مثالًا ذو ثمانية رؤوس نجح بالفعل.

يقول شلينكر: “أعتقد أن الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أنه مثال آخر على المهارات المحددة التي طورها ريتش شوارتز، حيث مزج البحث الرياضي التقليدي مع الأساليب الحسابية”. “لقد وجد أفكارًا هندسية جميلة لإثبات بعض النتائج، ولكنه كتب أيضًا برامج مفصلة للبحث عن الأمثلة والعثور عليها. عدد قليل جدًا من علماء الرياضيات قادرون على الجمع بين هذين الخيطين معًا بشكل متناغم.”

حان الوقت للدفاع عن العلم

إذا استمتعت بهذا المقال، أود أن أطلب دعمكم. العلمية الأمريكية لقد عمل كمدافع عن العلوم والصناعة لمدة 180 عامًا، وربما تكون اللحظة الحالية هي اللحظة الأكثر أهمية في تاريخ القرنين.

لقد كنت العلمية الأمريكية مشترك منذ أن كان عمري 12 عامًا، وقد ساعد ذلك في تشكيل الطريقة التي أنظر بها إلى العالم. SciAm يثقفني ويسعدني دائمًا، ويلهمني شعورًا بالرهبة تجاه عالمنا الواسع والجميل. وآمل أن يفعل ذلك بالنسبة لك أيضا.

إذا كنت الاشتراك في العلمية الأمريكيةأنت تساعد في ضمان أن تغطيتنا تركز على البحث والاكتشاف الهادف؛ وأن لدينا الموارد اللازمة للإبلاغ عن القرارات التي تهدد المختبرات في جميع أنحاء الولايات المتحدة؛ وأننا ندعم العلماء الناشئين والعاملين على حد سواء في وقت لا يتم فيه الاعتراف بقيمة العلم نفسه في كثير من الأحيان.

وفي المقابل، تحصل على الأخبار الأساسية، ملفات بودكاست آسرة، ورسوم بيانية رائعة، لا يمكنك تفويت النشرات الإخبارية ومقاطع الفيديو التي يجب مشاهدتها، ألعاب التحدي، وأفضل الكتابة والتقارير في عالم العلوم. يمكنك حتى إهداء شخص ما اشتراكًا.

لم يكن هناك وقت أكثر أهمية بالنسبة لنا للوقوف وإظهار أهمية العلم. آمل أن تدعمونا في تلك المهمة.