تشرح مفارقة باروندو كيف يمكن لاستراتيجيتين خاسرتين مجتمعتين أن تفوزا

مفارقة رياضية توضح كيف أن الجمع بين استراتيجيات الخسارة يمكن أن يؤدي إلى الفوز

بقلم مانون بيشوف حرره ديزي يوهاس

في عام 1996، توصل الفيزيائي الإسباني خوان باروندو إلى اكتشاف مذهل: في بعض الأحيان، يمكن دمج مباراتين تنتهي كل منهما بالخسارة على حدة في استراتيجية الفوز. هذه المفارقة ليست مجرد فضول رياضي، بل هي مفيدة علميا. فهو يساعد في تفسير تاريخ الحياة المتنوع للعفن الغروي ويمكن أن يساهم في استراتيجيات علاج السرطان الجديدة.

لفهم هذه المفارقة، نحتاج إلى تخيل موقف تلعب فيه مباراتين مع بعض المعلمات المحددة للغاية. على سبيل المثال، لنتخيل أن اللعبة الأولى، “أ”، تتضمن رمي العملة المعدنية. العملة في هذه الحالة لها توزيع وزن تم تعديله قليلاً بحيث تهبط بشكل تفضيلي على جانب واحد مع احتمال 50.5 بالمائة. لنفترض الآن أن اللعبة “أ” مزورة إلى حد ما بحيث أفوز إذا هبطت على الجانب المفضل وأنت تفوز إذا هبطت على الجانب الآخر. وبالتالي، لا يمكنك الفوز إلا باحتمال قدره 49.5 بالمائة، وفي هذه الحالة، سأعطيك دولارًا واحدًا؛ وإلا فسوف تدفع لي نفس المبلغ.

إذا لعبت اللعبة “أ” ضدي عدة مرات، فسوف تتكبد حتمًا الكثير من الخسائر لأنه يتعين عليك أن تدفع لي سنتًا واحدًا في المتوسط ​​لكل لعبة. (يمكننا حساب ذلك بسرعة عن طريق أخذ احتمالية فوزك وطرح احتمالية فوزي: 0.495 – 0.505 = –0.01.)

حول دعم الصحافة العلمية

إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.

ثم هناك لعبة ثانية أكثر تعقيدًا، وهي “ب”، والتي تتضمن تدوير عجلتين من الحظ. في هذه اللعبة، سوف تتمكن من تدوير واحدة أو أخرى بناءً على مقدار المال الذي لديك حاليًا. إذا كان رأس المال المتاح لديك للعبة (استنادًا إلى الطريقة التي لعبت بها A) قابل للقسمة بالتساوي على 3، فإنك تقوم بتدوير عجلة الحظ التي تمنحك فرصة الفوز بنسبة 9.5 بالمائة فقط. من ناحية أخرى، إذا كان رأس مالك غير قابل للقسمة على 3، فستحصل على احتمالات أفضل: تقوم بتدوير عجلة أخرى تمنحك فرصة بنسبة 74.5 بالمائة للفوز.

الآن أصبحت الأمور مثيرة للاهتمام.

لعبتان لا يمكن إلا أن تخسرهما

في اللعبة (ب)، تبلغ قيمة الرهان مرة أخرى دولارًا واحدًا. في المتوسط، سوف تخسر 87 سنتا في كل دورة.

دعونا نحفر في ذلك. قد تفترض أنه في ثلث الوقت، سوف تقوم بتدوير العجلة التي لا تناسبك، وفي ثلثي الوقت، سوف تقوم بتدوير العجلة الأخرى. ولكن هذا غير صحيح لأن أموالك لا تتقلب بالتساوي. على سبيل المثال، إذا كان لديك 9 دولارات، فسوف تدور العجلة السلبية ومن المرجح أن تخسر، مما يترك لك 8 دولارات فقط. ومع ذلك، إذا لعبت اللعبة مرة أخرى بهذا المبلغ، فسوف تقوم بتدوير العجلة التي تناسبك أكثر وستكون لديك فرصة أكبر للفوز. لذلك سينتهي بك الأمر بمبلغ 9 دولارات مرة أخرى.

وبالتالي فإن احتمال حصولك على مبلغ من المال قابل للقسمة على 3 هو أكثر بكثير من الثلث. باستخدام إجراء معقد يُعرف باسم سلسلة ماركوف، يمكنك حساب أن احتمالية فوزك الإجمالية باللعبة (ب) تبلغ 49.565 بالمائة فقط، وأن ربحك المتوقع لكل جولة سلبي: 0.49565 – 0.50435 = –0.0087.

تظهر مفارقة

إذا كنت ذكيًا، فلن تلعب ضدي في اللعبة “أ” أو اللعبة “ب”. وفي كلتا الحالتين، لا بد أن تخسر على المدى الطويل. لكن باروندو أدرك أن الإستراتيجية المختلطة يمكن أن تؤتي ثمارها: من خلال التناوب بين اللعبتين “أ” و”ب”، يمكنك بالفعل الفوز بشكل عام.

على سبيل المثال، إذا كنت تلعب دائمًا جولتين من اللعبة “أ” متبوعتين بجولتين من اللعبة “ب”، فستفوز بمتوسط ​​1.48 سنتًا لكل جولة. أو إذا اتبعت كل جولة “أ” بجولتين “ب”، فستكسب متوسط ​​5.8 سنتًا لكل جولة. لذا، على المدى الطويل، سترى ربحًا في كلتا الحالتين.

كما اكتشف باروندو، هناك مجموعات أكثر من A وB التي لها قيمة متوقعة إيجابية بالنسبة لك مقارنة بالعكس. ولذلك، فإنك تظهر كفائز حتى لو اخترت بشكل عشوائي ما إذا كنت ستلعب A أو B في كل جولة (على سبيل المثال، من خلال السماح لعملة معدنية عادلة باتخاذ القرار). في هذه الحالة، متوسط ​​فوزك هو 1.47 سنتًا لكل جولة.

كيف يكون هذا ممكنا؟ مفتاح مفارقة باروندو هو أن اللعبتين A وB يمكن أن تؤثرا على بعضهما البعض لأن اللعبة B تعتمد على المال الذي لديك حاليًا، وهذا المبلغ يتقلب أثناء لعب اللعبة A. لذلك، لم يعد من الممكن النظر إلى A وB على أنهما لعبتين مستقلتين. هذا هو جوهر مفارقة باروندو. إذا تم تعديل اللعبة (ب) بحيث، على سبيل المثال، تحدد قيمة حجر النرد عجلة الحظ التي ستدورها، فإن المفارقة ستختفي لأن كلتا اللعبتين ستكونان مستقلتين تمامًا عن بعضهما البعض.

تطبيقات مفارقة باروندو

منذ نشر باروندو المفاجئ في عام 1996، ظهرت العديد من الأوراق البحثية حول هذا الموضوع. في عام 2017، أظهر اثنان من علماء الكمبيوتر أن هذه المفارقة يمكن أن تفسر استراتيجيات الحياة المتنوعة للعفن الغروي، والتي يمكن أن تتناوب بين الحياة البدوية المنعزلة والمستعمرة الثابتة.

في بعض المواقف، يكون من الأفضل لهذه الكائنات أن تتجمع معًا لتشكل مستعمرات بدلاً من التواجد كهائمين منعزلين. لكن ترتيبات المعيشة الجماعية هذه لا يمكنها البقاء على المدى الطويل أيضًا: فالكائنات الحية تستغل بيئتها، وفي النهاية تبدأ الموارد في النضوب. إن الالتزام بإستراتيجية واحدة سيؤدي حتمًا إلى الموت، لكن الإستراتيجية المختلطة تقدم حلاً: تصبح الكائنات الحية متحركة مرة أخرى مؤقتًا بينما تتجدد البيئة في منطقة معينة.

قدمت عالمة الفيزياء الحاسوبية جيان يو جوان من جامعة لانتشو في الصين وزملاؤها تطبيقًا آخر لمفارقة باروندو في ورقة بحثية نُشرت في المراجعة البدنية ه في أغسطس 2025. بالنسبة للعديد من أنواع السرطان، يتم استخدام طريقتين مختلفتين للعلاج الكيميائي. يتلقى المرضى إما الجرعة القصوى التي يمكن تحملها على فترات زمنية محددة أو يتم علاجهم بشكل مستمر بجرعة منخفضة. من عيوب الاستراتيجية الأولى أن بعض الخلايا السرطانية تطور مقاومة وبالتالي لا تستجيب للدواء. في الاستراتيجية الثانية، لا يكون تركيز الدواء دائمًا مرتفعًا بما يكفي للقضاء تمامًا على جميع الخلايا السرطانية.

من خلال المحاكاة الحاسوبية، أثبت الباحثون أن التبديل بين طريقتي الدواء في أوقات محددة يمكن أن يؤدي إلى نتائج أفضل حتى بدون مراقبة تفصيلية – يشبه إلى حد كبير الترتيب العشوائي لـ A وB المفيد في مثال اليانصيب. ما إذا كان هذا النهج النظري يمكن تطبيقه حقًا على طب السرطان يحتاج إلى مزيد من البحث. تخطط جوان وفريقها لاختبار أفكارهم من خلال الدراسات المختبرية.

ظهرت هذه المقالة في الأصل في سبيكتروم دير فيسنشافت وتم استنساخها بإذن.