لا يستطيع علماء الرياضيات الاتفاق على ما إذا كان 0.999… يساوي 1

هذه المقالة من دليل إيجابي، رسالتنا الإخبارية الودية التي تستكشف متعة وخصائص الرياضيات. سجل اليوم للحصول على مقال رياضي ولغز أسبوعي في صندوق بريدك الإلكتروني.

دارت مناقشات لا حصر لها في الفصول الدراسية وقاعات المحاضرات والمنتديات عبر الإنترنت حول مسألة ما إذا كان 0.999… يساوي 1. ويؤكد المعلمون والأساتذة ومستخدمو الإنترنت المتمرسون في الرياضيات مرارًا وتكرارًا أن ذلك صحيح.

حول دعم الصحافة العلمية

إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.

ويأتون بجميع أنواع التفسيرات والبراهين، بعضها معقول. ولكن كما أظهرت استطلاعات الرأي والتقارير الميدانية، لا يزال كثيرون آخرون يرفضون تصديق هذه الادعاءات.

لذلك دعونا نحفر في ذلك. أولًا، يجب أن نفكر في كيفية تقديم الأعداد. في المدرسة، نتعلم تمثيل الأرقام بعدة طرق. نبدأ بعد أصابعنا ثم نتعلم فيما بعد التدوين الرسمي. نتعلم التعبير عن الأعداد النسبية على هيئة كسور أو أعداد عشرية. ونكتشف أن التمثيلات العشرية لبعض الكسور لا نهائية، مثل 1/3. لكن الأرقام بعد العلامة العشرية في هذه الحالات ليست خالية تمامًا من النمط، وبدلاً من ذلك تبدأ في التكرار بعد نقطة معينة: على سبيل المثال، 1/7 = 0.142857142857….

وفي الوقت نفسه، تحتوي الأعداد غير النسبية، مثل pi (π) أو √2، على عدد لا نهائي من المنازل العشرية بدون نمط دوري، ولا يمكن التعبير عنها على هيئة كسور. لتمثيلها بدقة، يختار المرء رمزًا لأن التدوين العشري لن يؤدي إلا إلى تقريب القيمة الفعلية.

بعض التوضيحات

فكيف يجب أن نفكر في 0.999…؟ يجادل بعض الخبراء بأنه يمكننا أن نبدأ بحقيقة أن الرقم النسبي 1/3 يتوافق مع الرقم العشري 0.333…. يمكنك ضربه في 3 لتحصل على 0.999… ويفسرون ذلك لأن 1/3 × 3 = 1، ثم 1 و0.999… يجب أن يكونا متساويين.

وهناك بعض الأدلة الأخرى التي تثبت أن 0.999… يساوي 1. على سبيل المثال، ابدأ بكتابة الرقم الدوري بالرمز العشري إلى نالرقم بعد العلامة العشرية: 9 × 1/10 + 9 × 1/100 + 9 × 1/1000 + … + 9 × 1/10^{ن + 1}. يمكنك الآن إخراج 0.9 لأنه يظهر قبل كل جمع.

وهذا يعطي: 0.9 × (1 + 1/10 + 1/10² + … + 1/10^ن). يمكنك إعادة كتابة 0.9 بالشكل 1 – 1/10 للحصول على صيغة أفضل: (1 – 1/10) × (1/10 + 1/10)² + … + 1/10^ن).

بمعنى آخر، لديك ما يسمى بالمتسلسلة الهندسية، وهو أمر عرف علماء الرياضيات كيفية حله منذ مئات السنين. في هذه الحالة، سيكون لديك: 1 – 1/10^{ن + 1}. و0.9999…9، مع 9 إلى نالمركز العاشر، يتوافق مع 1 – 0.00…01، مع وجود 1 في (ن +1) المركز الرابع. إذا نظرنا الآن إلى العدد الكامل 0.999…، الذي تتكرر تسعاته بلا نهاية، إذن ن يصبح لانهائي. في هذه الحالة، المصطلح 1/10^ن يصبح صفراً. لقد تم تحويل الفجوة بين 0.999…9 و1 إلى ما لا نهاية.

هذا المثال هو مجرد واحد من العديد من الأدلة التي توضح أن 0.999… يساوي 1. في هذا الصدد، يمكنك بالمثل أن تجد أن 0.8999… = 0.9، 0.7999… = 0.8، وهكذا. وحتى لو قمنا بتغيير نظام الأعداد لدينا، فإن هذه الأنماط تظل قائمة. على سبيل المثال، إذا قمنا بالتبديل إلى التدوين الثنائي، الذي يتكون فقط من 0 و1، فستظهر نفس المشكلة: 0.111… (الذي يتوافق مع 1 × 1/2 + 1 × 1/4 + 1 × 1/8 + …) يساوي 1.

لذا يبدو أن هناك فائزًا واضحًا في المناقشة: المعسكر الذي يدافع عن 0.999… = 1. لكن ليس بهذه السرعة. على الرغم من أن الرياضيات هي موضوع يمكنك من خلاله استخلاص الارتباطات بشكل دقيق، مع الحد الأدنى من المساحة للتفسير، إلا أنه لا يزال من الممكن الجدال حول الأساسيات.

قواعد جديدة للعبة

على سبيل المثال، يمكن للمرء ببساطة أن يحدد أنه حسب التعريف، 0.999… أصغر من 1. من الناحية الرياضية، هذا النوع من الاقتراحات مسموح به – ولكن عندما تفحصه، سوف تكتشف بعض العواقب غير العادية.

على سبيل المثال، عادةً، إذا نظرت إلى خط الأعداد واخترت أي رقمين، فستجد دائمًا عددًا لا نهائيًا بينهما. ويمكنك حساب القيمة المتوسطة من كليهما، ثم القيمة المتوسطة من هذا المتوسط ​​وأحد الرقمين، وهكذا.

لكن إذا افترضت أن 0.999… أصغر من 1، فلن يكون هناك رقم آخر يقع بين القيمتين. لقد وجدت كسرا في خط الأعداد. وهذه الفجوة تعني أن الحسابات قد تصبح غريبة. لأن 1/3 + 2/3 = 1 ينطبق أيضًا في هذا النظام، أي 0.333… + 0.666… = 1. بمجرد قيامك بحساب المجموع، عليك التقريب إذا انتهى بك الأمر بنتيجة في المساحة الغريبة بين 0.999… و1. ينطبق هذا التقريب أيضًا على الضرب، مثل 0.999… × 1 = 1، وهو ما يعني قاعدة أساسية في الرياضيات، وهي أن أي شيء مضروب في 1 هو في حد ذاته، لم يعد ينطبق.

وهناك طرق أخرى للتخلص من غموض 0.999… على سبيل المثال، يمكنك العمل في مجالات التحليل غير القياسي، والذي يسمح بما يسمى المتناهية الصغر، أو القيم الأقرب إلى الصفر من أي رقم حقيقي.

هذا التحول في الإطار يجعل من الممكن التمييز بين 1 و0.999… إذا كانا يختلفان بمقدار واحد متناهٍ في الصغر. ولا يؤدي إلى أي تناقضات (أو ليس أكثر من حساب التفاضل والتكامل التقليدي). لكنه معقد بطرق تعني أن معظم علماء الرياضيات لا يعتبرونه بديلاً حقيقياً.

لذا نعم، لا يزال هناك جدل حول ما إذا كان 0.999… = 1. فمن ناحية، وبالتعامل مع الأرقام والحسابات المألوفة لدى معظمنا، فإن المعادلة صحيحة بلا شك. ولكن يمكنك استكشاف إصدارات أخرى من الرياضيات للحصول على إجابة مختلفة، بشرط أن تتمكن أيضًا من التفكير في العواقب الغريبة.