احتفل بيوم باي واقرأ كل ما يتعلق بكيفية ظهور هذا الرقم في الرياضيات والعلوم صفحتنا الخاصة بـ Pi Day.
أمسك بشيء دائري، مثل كوب، وقس المسافة حول الدائرة، واقسمها على المسافة عبر الجزء الأوسع. ما ستحصل عليه هو تقدير جيد جدًا للرقم غير العقلاني pi (3.14159…). ولكن يمكنك أيضًا العثور على pi في سلسلة من العملات المعدنية العشوائية أو مجموعة من الإبر الملقاة على أرضية خشبية. في بعض الأحيان يكون سبب ظهور pi في القيم التي تم إنشاؤها عشوائيًا واضحًا – إذا كانت هناك دوائر أو زوايا معنية، فإن pi هو الرجل المناسب لك. لكن في بعض الأحيان يتم إخفاء الدائرة بذكاء، وفي بعض الأحيان يكون سبب ظهور pi لغزًا رياضيًا!
للاحتفال بيوم باي هذا العام، إليك ثلاث طرق لتقدير باي باستخدام فرصة عشوائية يمكنك تجربتها في المنزل. الإصدار الأخير، الذي يستخدم رمي العملات المعدنية، جديد تمامًا، وتم نشره في الوقت المناسب لـ Pi Day.
حول دعم الصحافة العلمية
إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.
1. دائرة في مربع
ربما تكون أبسط طريقة لتقدير pi بشكل عشوائي هي كالتالي: خذ مربعًا طول ضلعه 2 ثم ضع دائرة نصف قطرها 1 بداخله بحيث تلامس حواف المربع فقط. ثم قم بتوليد النقاط بشكل عشوائي في المربع. كلما قمت بإضافة المزيد والمزيد من النقاط العشوائية، ستقترب نسبة النقاط التي تنتهي في الدائرة π⁄4– النسبة بين مساحة الدائرة (pi) ومساحة المربع (4).
إن حدوث باي هنا ليس مفاجئًا، فهو يأتي مباشرة من صيغة مساحة الدائرة، ولكن الطريقة هي مثال كلاسيكي لمحاكاة مونت كارلو، حيث يتم استخدام بيانات عشوائية لتقريب الحسابات الدقيقة.
2. معكرونة بوفون
لنفترض أنني أسقطت مجموعة من الإبر على أرضية من الخشب الصلب مع خطوط متباعدة بطول إبرة واحدة. ما هي نسبة الإبر التي أتوقع عبورها للخطوط؟ تم طرح هذا السؤال لأول مرة من قبل جورج لويس لوكلير، الكونت دي بوفون (أو كونت بوفون) في عام 1733، والإجابة هي 2⁄π (عن 2⁄3).
لمعرفة السبب، علينا أن نفكر في سؤال أكثر عمومية: ماذا لو لم تكن إبرتنا خطًا مستقيمًا، بل كانت متعرجة أو مربعة أو أي شكل آخر مرسوم بخط؟
تسمى هذه النسخة الموسعة من المشكلة أحيانًا “معكرونة بوفون” لأن المعكرونة تأتي في أشكال أكثر بكثير من الإبر. لقد اتضح أنه بغض النظر عن الشكل الذي تنحني فيه الإبرة، فلا يزال بإمكاننا أن نتوقع منها، في المتوسط، أن تعبر نفس عدد الخطوط. القيمة المتوقعة لعدد الخطوط المتقاطعة تتناسب مع طول الإبرة. بمعنى آخر، يمكننا أن نتوقع مجموعة من الإبر ذات الطول ن (بأي شكل) للعبور ن أضعاف عدد الخطوط مثل نفس عدد الإبر بطول 1.
لذا، للعثور على إجابة سؤال بوفون، كل ما عليك فعله هو اختيار شكل ذكي لإبرك. هذا هو المكان الذي تأتي فيه الدوائر. إذا كان لديك خطوط متباعدة عن بعضها البعض بوحدة واحدة وإبرة منحنية في دائرة قطرها 1، فسوف تعبر الخطوط دائمًا مرتين بالضبط. طول الإبرة التي تشكل الدائرة هو باي، وبالتالي فإن احتمال أن تعبر إبرة طولها 1 خطًا سيكون القيمة المتوقعة لعدد المرات التي تعبر فيها الدائرة — 2 — مقسومًا على طول الإبرة الدائرية، مما يعطينا 2⁄π.
3. تقليب العملات المعدنية
التقط عملة معدنية واقلبها. سجل الرؤوس أو الذيول. كرر ذلك حتى تحصل على رأس واحد أكثر من الذيل، وسجل نسبة الرؤوس إلى إجمالي الشقلبات. على سبيل المثال، إذا كانت أول شقلبة لك عبارة عن رؤوس، فتوقف على الفور وسجل 1. إذا قمت بقلب الذيول، والرؤوس، والذيول، والرؤوس، والرؤوس، فتوقف وسجل ⅗. القيمة المتوقعة لنتيجتك، أو متوسط جميع محاولاتك إذا قمت بعدد لا نهائي من المحاولات، هي π⁄4. كلما زاد عدد التجارب التي تجمعها معًا، كلما اقتربت منها π⁄4.
تم تقديم هذه الطريقة الجديدة لتقدير pi باستخدام رمي العملة بواسطة جيمس بروب، عالم الرياضيات في جامعة ماساتشوستس لويل، في طبعة أولية نُشرت عبر الإنترنت على موقع ArXiv.org الشهر الماضي – في الوقت المناسب تمامًا لـ Pi Day! على الرغم من أن الرياضيات وراء هذه الطريقة ليست جديدة، إلا أن فكرة استخدامها لتقدير باي عن طريق رمي العملة جديدة.
فلماذا نحصل π⁄4؟ الإجابة غير المرضية هي أنه في مكان ما في حساب الاحتمال يوجد مجموع لا نهائي يتوافق مع قيم دالة أركسين – وهي دالة مثلثية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بـ باي. لكن علماء الرياضيات لم يجدوا علاقة ذات معنى بين تقليب العملات المعدنية وباي. يقول بروب: “في بعض الأحيان يكون لشيء أساسي حقًا صلة بفرعين منفصلين تمامًا من الرياضيات”. “إنها واحدة من متع الرياضيات، ولكنها في كثير من النواحي لغزا.”
لاحظ عالم الرياضيات في جامعة فيينا للتكنولوجيا ستيفان جيرهولد نتيجة مشابهة جدًا، والتي نشرها كمطبعة أولية على موقع arXiv.org في عام 2025. فبدلاً من رمي العملة المعدنية حتى يصبح عدد الرؤوس أكثر من الذيل، كان جيرهولد ومؤلفه المشارك يفكران في الأسر التي لديها أطفال وتتوقف عندما يكون لديها ولد واحد أكثر من الفتاة. يقول جيرهولد: “إنه أمر غامض للغاية”. “لا أعتقد أن هناك طريقة جيدة لفهم أن التوقع (في هذا السيناريو) سيتضمن باي.”
لا تعتبر أي من هذه الطرق عملية بشكل خاص لتقدير قيمة باي. للحصول على قيمة pi بدقة 3.14، يقدر بروب أن الأمر قد يستغرق ما يصل إلى تريليون نقرة على العملة. ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن تسلسل رمي العملة يمكن أن يستغرق وقتًا طويلاً قبل أن تتفوق الصورة على الكتابة، لدرجة أن القيمة المتوقعة لطول التسلسل هي ما لا نهاية! علاوة على ذلك، لا يمكنك قلب جميع القطع النقدية مرة واحدة بنفس الطريقة التي يمكنك بها إسقاط الإبر – فترتيب الصور والذيول مهم. ولهذا السبب يقترح بروب تجربتها في الفصل الدراسي، حيث يستطيع العديد من الطلاب قلب تسلسلات من العملات المعدنية في وقت واحد.
جينيفر ويلسون، عالمة الرياضيات في المدرسة الجديدة، التي تستخدم نماذج احتمالية مماثلة لتحليل طرق التصويت، تجد النتيجة مرضية. “إنه أمر لطيف لأنه بالتأكيد شيء يمكنك تجربته مع أي مجموعة من الطلاب، وكل ما تحتاجه هو خلفية في حساب التفاضل والتكامل لفهمه.”
بمفردك، قد تقوم بتقليب العملات المعدنية لفترة طويلة للحصول على قراءة دقيقة للباي. وحتى الطريقتان الأخريان قد تتطلبان حوالي مليون نقطة عشوائية أو قطرات إبرة للحصول على 3.14، لكن قد تصبح أكثر حظًا. في يوم باي هذا، فكر في الانضمام إلى تقليد العثور على قيمة باي بطرق غير فعالة إلى حد كبير.
التعليقات