الجميع يرتكبون الأخطاء، وفي بعض الأحيان يمكن أن تؤدي هذه الأخطاء إلى اكتشافات مفاجئة. في أوائل التسعينيات، أثناء برمجة لعبة الكمبيوتر Doom، قام مطور اللعبة جون كارماك بتعيين قيمة pi (π) يدويًا – وبطريقة مهووسة حقًا، كتب الرقم من الذاكرة إلى المنزلة العشرية التاسعة: 3.141592657.
هل لاحظتم أي شيء غريب في هذا الرقم؟ الرقم الأخير خاطئ. يجب أن يكون الرقم بدلاً من ذلك 3.141592654. (غالبًا ما يتم اقتطاع Pi دون تقريب، وفي هذه الحالة سيتم ملء العلامة العشرية التاسعة بـ 3، ولكن يتم تقريبها إلى 4 لأن الرقم التالي هو 5.)
ولحسن الحظ، هذا الخطأ له تأثير ضئيل على اللعبة. في لعبة Doom، وهي واحدة من أقدم ألعاب إطلاق النار من منظور الشخص الأول برسومات ثلاثية الأبعاد، فإنك تلعب دور جندي بحري فضائي ينتهي به الأمر على قمر المريخ، بسبب تجربة انتقال آني فاشلة، حيث يحارب الشياطين والزومبي. اللعبة لديها قصة رائعة ولكن الرسومات رهيبة. وهذا ليس بسبب قيمة pi غير الصحيحة، بل هو انعكاس لمدى قلة القدرة الحاسوبية المتوفرة في التسعينيات.
حول دعم الصحافة العلمية
إذا كنت تستمتع بهذا المقال، ففكر في دعم صحافتنا الحائزة على جوائز من خلال الاشتراك. من خلال شراء اشتراك، فإنك تساعد على ضمان مستقبل القصص المؤثرة حول الاكتشافات والأفكار التي تشكل عالمنا اليوم.
ومع ذلك، ألهم الخطأ المهندس الأمريكي Luke Gotszling للتحقيق في العواقب المحتملة لبرمجة pi بشكل غير صحيح على نطاق أوسع في اللعبة، وهي فكرة قدمها في مؤتمر للهاكرز في عام 2022.
عندما يكون Pi مخطئًا في لعبة كمبيوتر
نظرًا لأن Doom هي لعبة كمبيوتر مفتوحة المصدر، فيمكنك تنزيل الكود وتعديله. لقد فعل جوتسلينج هذا بالضبط، حيث اختبر ما سيحدث إذا قام بتغيير القيم المبرمجة لـ pi.
يمكن أن تجعل النتائج المشاهد يشعر بالغثيان قليلاً. عندما قام Gotszling بتعيين π = 3، على سبيل المثال، أصبح عالم Doom المنقسم مشوهًا، حيث تتحرك الجدران والأعمدة بطرق غير متوقعة. ومع ذلك، كانت اللعبة قابلة للعب.
عندما تم ضبط باي على قيمة رقم أويلر، 2.718…، اشتدت الغرابة. عندما يتحرك اللاعب بشكل مستقيم في عالم اللعبة، فإن الأشياء المحيطة ستتحرك إلى جوانب مختلفة. يمكن أن يظهر الأعداء من العدم ويختفون مرة أخرى. “مع ما يكفي من التسمم، يمكنك إعادة إنشاء هذا”، قال جوتسلينج مازحا في العرض الذي قدمه.
أصبحت الأمور سيئة للغاية عندما حدد قيمة π⁄2 لبي. سوف تومض الجدران وتختفي. العوائق غير المرئية تمنع حركة اللاعب. لم تكن اللعبة ممتعة بشكل خاص في هذه الحالة.
باي ليس دائمًا 3.14159…
لماذا بي قوي جدا؟ للإجابة على ذلك، علينا أن نفكر في عواقب تغيير باي بشكل أعمق.
في الأصل، تم تعريف باي على أنها نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. في عالمنا اليومي، نفترض أن الدوائر مستديرة. ولكن بالمعنى الرياضي الضيق، يتم تعريف الدائرة بجميع النقاط التي تكون على مسافة متساوية من مركز مشترك. في عالم مسطح ثنائي الأبعاد، حيث يتم تعريف المسافات على أنها أقصر خطوط مستقيمة، تكون الدائرة مستديرة. وهذا يعني أن قيمة pi يمكن أن تتغير.
على سبيل المثال، تخيل أنك واقف في وسط مدينة مانهاتن. إذا كنت تريد معرفة الأماكن التي تبعد عنك كيلومترًا واحدًا بالضبط، فلن يكون الشكل الذي يمكنك إنشاؤه مستديرًا بعد الآن. هذا لأنه لا يمكنك المشي عبر الجدران. بدلا من ذلك عليك أن تتبع تخطيط رقعة الشطرنج للشوارع. الدائرة لها شكل مربع في “مترية مانهاتن”، كما يطلق عليها في المصطلحات الرياضية. وإذا قمت بتعريف باي في هذا السياق كنسبة المحيط إلى القطر، فإن الرقم يأخذ قيمًا مختلفة تمامًا: في مقياس مانهاتن، باي هو بالضبط 4.
إذا نظرت عن كثب، فإن قيمة pi في عالمنا ليست بالضبط 3.14159…. بدلًا من ذلك، تأخذ نسبة المحيط إلى القطر قيمة مختلفة، والأسوأ من ذلك أن هذه القيمة تختلف!
إذا كنت تقف في القطب الشمالي وتنظر إلى جميع الأماكن التي تبعد عنك 1000 كيلومتر بالضبط، على سبيل المثال، فإن هذه النقاط تشكل دائرة على سطح كرة، ولكن محيطها أصغر من محيط الدائرة على سطح مستو، وذلك بفضل انحناء الأرض. كلما اقتربت من خط الاستواء، أصبح هذا التأثير أقوى، وتنحرف القيمة المقابلة لـ pi أكثر فأكثر عن القيمة المعتادة 3.14159….
وبالتالي فإن القيمة الجديدة لـ pi ليست ثابتة ولكنها تعتمد بدلاً من ذلك على نصف قطر الدائرة. وهذا ليس هو الحال فقط عند النظر في سطح كروي. أي نوع من الأسطح المنحنية ينتج قيمًا متغيرة لـ pi.
ويشير علماء الرياضيات إلى مثل هذه العوالم المنحنية على أنها أشكال هندسية “غير إقليدية”. (منذ أكثر من 2000 عام، وضع العالم إقليدس قواعد الهندسة التي تعلمها معظمنا في المدرسة، وهي أفكار لا تنطبق إلا على عالم مسطح).
خلق رؤية Trippy من الموت
إن المناظر الطبيعية الملتوية التي أنشأها Gotszling عن طريق تعديل كود مصدر Doom هي شيء آخر تمامًا. لفهم ذلك، علينا أن نعود إلى التسعينيات: الوقت الذي كانت فيه كل عملية حسابية تستهلك كمية هائلة من الموارد. ولإدارة هذا التحدي، بذل المبرمجون جهودًا لتحديد الحسابات المحتملة مسبقًا وتخزينها في «جداول البحث».
عند تطوير رسومات ثلاثية الأبعاد للعبة كمبيوتر، تلعب الوظائف المثلثية مثل جيب التمام وجيب التمام والظل دورًا مهمًا. ويمكن استخدامها لوصف كيفية تحرك الأجسام عبر الفضاء مع مرور الوقت. لتوفير قوة المعالجة، قام مطورو Doom بحساب قيم مهمة للدوال المثلثية لزوايا مختلفة مقدمًا وقاموا بتخزينها في جداول البحث. وهنا يأتي دور pi: عليك ضرب الزاوية بالدرجات في pi للحصول على القيمة المقابلة بالراديان، والتي يستخدمها الكمبيوتر.
لذا، إذا استخدم جوتسلينج قيمة pi صغيرة جدًا، فسيتم تحويل الزوايا بشكل غير صحيح. نظرًا لأن المطورين يقومون فقط بتخزين عدد محدود من الزوايا، فقد أنشأوا جداول بحث بقيم لم تعد تتضمن الدورات الكاملة: بدلاً من وصف بيئة يظهر فيها الكائن مرة أخرى فقط في نفس المكان بعد دوران 360 درجة، يحدث هذا بعد زاوية أصغر بكثير. ونتيجة لذلك، في المواقف القصوى، تختفي الأشياء فجأة أو تظهر مرة أخرى من العدم.
إن عالم Doom الذي أنشأه Gotszling غريب بشكل لا يصدق. ومع ذلك، فهي طريقة لطيفة لجعل الناس يفكرون في الرياضيات وقيمة باي بكل معنى الكلمة. أدى خطأ صغير ارتكبه أحد مطوري الألعاب إلى تجربة أكبر بكثير في رقم الدائرة الغريب.
ظهرت هذه المقالة في الأصل في سبيكتروم دير فيسنشافت وتم استنساخها بإذن.
التعليقات